数学もトライしてみました


史上初の冥王星観測開始へ 無人探査機、9年かけ近づく(1月16日 朝日新聞デジタル)
探査機ニューホライズンズと冥王星の想像図
=NASA提供
冥王星想像図米航空宇宙局(NASA)は15日、2006年に打ち上げた
無人探査機「ニューホライズンズ」が冥王星に近づき、
史上初の探査機による観測を始めると発表した。
今年7月中旬には約9600キロまで接近し、なぞが多い大気
の組成や地形などを詳しく調べる。探査機の管制を担当する
ジョンズ・ホプキンス大応用物理研究所によると、
探査機は15日現在、地球から約48億キロ離れ、
冥王星まで約2億キロの位置を秒速15キロで移動中。
25日から冥王星の撮影などを始めるが、本格的な観測は
距離が近づく今春以降になる。探査機は省エネのため
休眠状態を繰り返し、9年がかりで到達した。
冥王星は過去に探査機で調べられたことがなく、
実態がよくわかっていない。太陽系の9番目の惑星とされてきたが、06年に国際天文学連合による
定義の見直しで準惑星に区分された。今回は冥王星の衛星カロンも調べるほか、多数の小天体が集まる
「エッジワース・カイパーベルト」の探査も行う予定。望遠鏡による観測では得られない、
太陽系の形成過程の解明などに役立つデータ収集も期待される。
探査機には、1930年に冥王星を発見した米国の天文学者トンボーの遺灰が積まれているという。

数学問題
<出典> 大学入試数学の問題 (解答もついています。本記事と解き方が違います。)

占星術ではネガティブにとらえられることの多い冥王星ですが、破壊的パワーで敵を粉砕する力を持っている
とも考えられています。しかし、占星術の解釈はそれほど確定的なものではなく、現実と同様、謎に満ちています。
冥王星は硬い地面を持っているといわれていますが、表面は氷で覆われているのでしょうか?
冥王星は非常に遠いうえ、月より小さく、地球から冥王星の表面を観察することはできないので、
今春からの「ニューホライズンズ」の撮影結果が楽しみです。今春を明るく迎えていただくため?、
数学できっとよく出題されるであろうベクトルについて考えてみました。

ロッテとロッテリア
ロッテリア ニュースリリース

ベクトルにおいては、「内分点・外分点の座標 」 「3点が一直線上にある条件」 「重心・内心の位置ベクトル」
「内積」の4つを理解していれば多くの問題が解けるのではないでしょうか?
ベクトルの問題を解く場合には、これらの公式を思い出しておく必要があります。線分ABを1:2に内分する点Cの場合、
c(太文字にしたものはベクトルです。以下同様)は、(2/3)a+(1/3)bです。これを逆にすると答えを間違えます。
公式をしっかり理解していれば、ベクトルの場合、図形の問題を解くときのようにひらめく必要はありません。
そもそも、複雑な図形を考えなくてもよい手段としてベクトルがあるのです。
この問題も、図形として解くことも可能ですが、ベクトルとして解いたほうが確実だと思われます。
一言でいえば、素直に解いていくことが肝要です。PQとは、qpです。Qは辺BCの内分点なので、qbc
表記できます。Pは原点とAの内分点なので、paで表記できます。これではじめの問題は解けます。
次に、Rは線分PQの中点なので、(1/2)p+(1/2)qです。はじめの問題でpqa,b,cで表記しましたので、
ra,b,cで示すことができます。直線AR上の点Sは、m+n=1としたとき、ma+nrと表すことができますから、
これをa,b,cで示します。これが△OBCを含む平面上にあるということはaの係数が0ということですから、
mとnの関係式ができます。これとm+n=1の連立方程式を解けばいいのです。
この問題の場合、mは負になりますので、Sは線分AR上にはなく、R側に外挿した直線上にあることになります。
位置関係がつかめれば簡単に解くことができます。
最後の問題をベクトルで考えようとする場合は、別の知識が必要です。ここで重要になるのは、
OABCが正四面体であることです。正四面体は、a=(1,1,0)、b=(1,0,1)、c=(0,1,1)と置くことができます
abcの座標は入れ替えてもいい)。特に1にこだわる必要もなく、この問題では分数がでてこないように、
a=(8,8,0)、b=(8,0,8)、c=(0,8,8)としておけばいいのです。
qb,cで表記されていますから、qの座標は定まります。あとは内積の公式を思い出すだけです。

ちなみに、最初の問題でも座標を定めて解くことは可能ですが、座標を定めると計算が複雑になる
(3つの連立方程式になります)ことが多いので、注意が必要です。
とにかく時間との勝負ですから、最も簡単な方法を採用しなければなりません。
ベクトルの場合、分数を含む面倒な計算になり、計算間違いによる不正解が多いものと思われます。
計算間違いをしない自信のある人は標準的な解き方でもいいのかもしれませんが、計算が得意でない人は、
できるだけ問題を簡単にして解く工夫も求められます。また、計算の過程をきれいに書くことも大切です。
あとから見直して、計算間違いに気づくことができるかもしれないからです(計算の過程を書くのに、
余計な時間がかかってはいけませんが)。図をきれいに書いておくことも有効です。図を適切に書くことが
できれば、計算を間違えたときに、「この結果はおかしいぞ」と気づくことができるからです。
単純なことでいうと、はじめのPをOA上に描くときPを少しAに近く描いておけば、pが(1/2) aより大きい
ことは明白です。ここで仮にp=(3/7) aとしたとすれば、すぐに間違っていることが分かります。
第二問目においても、きれいに図を描いていれば、下の図においてS位置はRより手前にあることが分かります。
つまり、下の図のようにm、nを置いたとき、mが負でnが1より大きくなることは予想できます。
そうならなかったら、計算が間違っているのです。計算を間違わないことも
大切ですが、計算間違いに早く気づくことも大切です。

以上、とてもつたない数学講座でした(ミスっていたらごめんさい)。

数学解答

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舞尾 空

Author:舞尾 空
・性別:男
・年齢:46歳
・職業:サラリーマン
・血液型:O型

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